smm panel

is binance safe bitcoin nasıl alınır bitcoin nasıl alınır online bahis siteleri canlı bahis siteleri bahis forum marsbahis gate io güvenilir mi

Çığır Açan Matematik Fikirleri!

  • Konbuyu başlatan Taha KAYA
  • Başlangıç tarihi
T

Taha KAYA

Misafir
Matematik ve bilimin ortak olarak gelişimi ve farklı fikirlerinin uygulama alanına yansıması, günlük yaşamımızda kullandığımız birçok teknoloji olarak karşımıza çıkar. Matematikte yeni fikirler her gün ortaya çıkmakta ve uygulama alanı sürekli genişlemekte. İnsanın doğada gerçekleştirdiği gözlemleri sistematik bir hale dönüştürme isteğiyle ortaya çıkan matematiğin, şuan 3500'den fazla alt alanı var. Hatta matematik, her yıl 200.000 civarında yeni buluşa imza atılan devasa bir yapıya dönüşmüş durumda diyebiliriz. "Matematik ne işimize yarar?" sorusu, matematikten haz etmeyenler, sıkı ilgilenenler ve okul zamanında "ne acayip konular gördük ama niye gördük" diyenler için en sık sorulan sorulardan biri. Matematik için genelde şöyle bir benzetme kullanırım. "Sinemada bir film izlediğinizde görsellik, hikaye, oyuncular, ses dahil her şey sizi etkiler. Ancak matematik, bir sinema filminin ortaya çıkmasında çalışan herkes gibi, arka planda olandır. Fark etmeseniz bile en büyük rolü aslında o alışmıştır."

Matematiğin günlük hayatta kullanımına yönelik birçok hikaye duymuş, popüler kaynaklardan bilgiler edinmiş olabilirsiniz. Ben bu konuda bir adım daha öteye giderek "Matematik olmadan şu an kullandığımız aletlerin ya da yaşadığımız ortamın oluşması mümkün değil" diyebilirim. Peki bu yapının iskeletini oluşturan, köşe taşları diyebileceğimiz en önemli matematik fikirlerinden bazıları neler? Bize ne gibi katkıları var?




Matrisler

Farklı boyutlarda işlem yapmak istediğimizde sadece sayıları yan yana yazıp toplamamız, çarpmamız kısacası bildiğimiz temel işlemler yetmez. Çok basit olarak bir uçak rotasını öğrenmek istediğinizde paralel, meridyen ve yükseklik olmak üzere üçlü koordinatla basit olarak çarpma ya da toplama gibi işlemler yapmanın farklı sayıların bizim için farklı olduğundan bir faydası olmayacaktır. Bu durumda bu tür birden fazla elemena sahip yapıların gösterimleri için yeni bir kurguya ihtiyacımız olduğu ortaya çıkar. Matris, büyük köşeli parantez şeklinde bir kutu içerisinde sayı veya cebirsel ifadelerden oluşan bir gösterim. Bu gösterim çok eski zamanlarda Çin yazıtlarında kullanılsa bile, modern anlamda, matematiksel işlemlerin oluşturulması ve çığır açıcı bir şekilde kullanımı, Arthur Cayley'in fikirleri ile gerçekleştirilmiştir. Örneğin, matrislerin çarpımı bilinen sayıların oldukça farklı. Matrislerle gerçekleştirilen cebirsel ifade işlemleri günlük yaşamımızda, ekonımide, matematikte, bilgisiyar bilimlerinde, elektronikte, fizikte, uzay bilimlerinde, atom altı parçacıkların incelenmesinde, kuantumda vb. şekilde sayabileceğimiz birçok alanda aktif olarak kullanıyoruz. En ilgi çekici kullanımlarından biri ise TV, telefon ve PC'lerimizin ekranları. TV ya da bilgisiyar ekranınızda yer alan her bir pikselin kontrolünü ayrı ayrı sağlayabiliyoruz. Bunu yaparken hangi pikselin aktif olacağına nasıl karar verebiliriz? Tabii ki ilk olarak o pikselin tam yerini belirlememiz gerekir. Örneğin 800x600 olarak bildiğiniz ekran çözünürlüğü aslında orada kaç piksel olduğu ve piksellerin yatay ve düşey olarak bir matris biçiminde nasıl yer aldığını bize anlatır. Doğal olarak yatayda ve düşeyde bir sayı alırsanız, mesela 47x24, bu çalışmak istediğiniz pikselin matris içerisindeki yatay koordinatının 47, düşey koordinatının 24 olduğu anlamına gelir. O halde sisteminizde bu piksele ulaşmak için bu koordinat sistemi ile çalışmalı yani bir matris yapısı kurmalısınız. Tüm p rogramlama işlemlerinde matrisler çok önemli yer tutar. Matrisler sadece matematikte değil, diğer tüm bilim dalları için halen çok etkili bir kullanım ve gösterim aracı.

Logaritma

1960'larda ülkemizdeki gazetelere Türkçe karşılığının bulunması için ilan verilen bu işlemi, lisede öğrenen çoğumuz, neden kullanıldığımızı bile bilmeyiz. Ancak günlük yaşamda çok sık karşımıza çıkan ve mühendislik alanının önemli işlerinden biridir. Logaritma, ilk olarak Napier hatta eş zamanlı olarak Bürgi tarafından geliştirilen, çok büyük sayılarla işlem yapmayı kolaylaştıran yapısı ile Logaritma fikri, ortaya konulmasından hemen sonra yaygın olarak kullanılmaya başlandı. Matematikte bir sayının kendisi ile çarpımı üslü sayılarla ifade edilebilir. Örneğin, 2'nin kendisi ile çarpımı yani

2.2 = 2² ve 2.2.2 = 2³ = 8

olduğuna göre 2'nin hangi kuvettinin değeri 5 olabilir sorusunu logaritma işlemi bize yanıtlar. Bu cevapla birlikte üstel biçimde değişen bakterilerin artışı, insan nüfusu vb. gibi durumlara yönelik hesaplamalar kolaylıkla yapılabiliyor. Örneğin, depremin şiddeti olarak bildiğimiz Richter (R) ölçeğinin hesaplanması da aslında basit bir logaritma işlemi. Standart ya da ölçülebilen en küçük deprem dalgası D olmak üzere, bunun 400 katı bir deprem sinyalini ölçtüğümüzü farz edelim. Bu durumda,

R = log (400. D)
--------- = log(400) » (Yaklaşık olarak eşit)
D

Yani depremin şiddeti 2,6 Richter diyoruz. Bu hesaplamayı hesap makinenizle kolayca yapabilir, hatta ters işlem kullanarak depremin şiddeti 7 olduğunda standart ölçülebilen en küçük deprem dalgasının kaç katı olduğunu bulabilirsiniz. Tarihte tespit edilen en büyük deprem 9,5 Richter ölçeğinde, logaritma hesabı kullanarak, en küçük olarak alınan deprem dalgasının yaklaşık 3.162.277.660 katı şiddetinde gerçekleşmiş diyebiliriz. Logaritma olmadan depremleri söylesek, ne kadar büyüklükte bir deprem olduğunu standart bir şekilde karşılaştıramayabilirdik.




Sonsuzluk

"Sonsuz nedir?" sorusunu çevrenizdekiler sorduğunuzda muhtemelen alacağınız cevaplardan bir kaçı: "çok büyük", "sayılamaz", "sınırsız" olacaktır. Ancak matematikte sonsuz kavramı için bu cevaplar oldukça eksik sayılır. Matematikte yer alan sonsuz kavramı çok küçük, sayılabilir hatta sınırlı bile olabilir. Sonsuz kavramının tanımı George Cantor tarafından gerçekleştirilmiş ve her ne kadar yaptığı işler zamanın ünlü matematikçileri tarafından sahtekârlık boyutunda görülmüş olsa bile, Cantor, matematik ve felsefe açısından sonsuz kavramını yeniden tasarlamıştır. George Cantor'un sonsuz tanımına göre Doğal Sayılar N'ın sonsuzluğu ve Reel Sayıların (R) sonsuzluğundan şaşırtıcı bir şekilde küçüktür. Cantor'un eşsiz fikri ile sonsuzlukları büyük ve küçük olarak karşılaştırabilmek tarihte yerini almıştır. Cantor bununla yetinmemiş, sonsuzlukların karşılaştırılabilmesi ile ilgili kardinal ve ordinal sayı kavramlarını geliştirmiş ve sonsuzluklarla gerçekleştirilebilen işlemleri tanımlamıştır. Sonsuz kavramındaki bu köklü değişim, sonsuzun sınırlı ve sayılabilir olması tanımlarını da beraberinde getirir.

Cantor'a göre, Doğal Sayılarla birebir eşleşebilen bir küme sayılabilirdir. Başka bir deyişle sonsuz elemanlı bir kümenizi Doğal Sayılarla birebir eşleyebilirseniz, kümeniz sonsuz elemanlı olsa bile sayılabilirdir. Örneğin çift sayılar sayılabilirdir çünkü her çift sayıyı

Çift Sayılar > 2 4 6
Doğal Sayılar > 1 2 3

şeklinde bir doğal sayı ile birebir eşleyebilirsiniz. Bu eşleme çift sayıların sonsuz olsa bile sayılabilir olduğunu gösterir. Sayılabilirliğin en güzel gösterimlerden biri, rasyonel sayılara aittir. Bir rasyonel sayı ab şeklinde yazılabilen a,b tamsayı (b eşit değildir 0) ile tanımlıdır ve bu sayılar doğal sayılarla birebir eşlenebiliyor. Tabii ki bu muazzam eşleşme sırasında rasyonel sayıları sayabilmek için köşegen şeklinde saymayı düşünmek apayrı bir düşünce güzelliği. Bilim açısından oldukça zorlu bir kavram olan sonsuzluğun, Cantor ile tanımlanması ve yeni özelliklere kavuşması, matematiksel hesap, fizik ve felsefe açısından çok önemli bir dönüşüm noktası olarak bilinir.




Trigonometri

Trigonometri, bir çoğumuz için korkutucu bir isime sahip. Onca işlem, dönüşüm medem yapılır ve neden sinüs diye bir fonksiyon var çoğumuz bilmeden hatta anlamadan liseden mezun oluruz. Eski yazıtlar kaybolduğundan ortadoğuda başlayan trigonometri hikâyesi, Hindistan'da mı gelişti, yoksa Hintliler ve ilk Yunanlar mı buldu çok emin değiliz. Ama matematik tarihçisi Victor Katz'a göre Yunan ve Hintli astronomların ihtiyaçları doğrultusunda geliştirildiği kesin. "Trigonomentri" kelimesi, Yunanca "trigonon" (üçgen) ve "metron" (ölçme) kelimelerinin 16.yy civarında birleştirilmesi ile ortaya çıkmış ve o günden beri yeni karşılaşan bireyler için korkutan bir terim olarak hayatımıza girmiştir. Peki trigonometri ne işe yarar?

Şahsen en sevdiğim konulardan biri olan trigonometri olmadan, modern olarak adlandırdığımız dünyada hemen hiçbir teknolojiyi kullanamıyoruz, hatta biraz daha iddalı bir cümle olarak, trigonometri olmadan günlük yaşamda hareket edemeyiz, diyebilirim. Mevcut tüm iletişim, trigonometrik dönüşümlerle gerçekleşiyor. GPS ve telefon sistemlerinde yerimizi ve gideceğiniz adresi bulmak, gemilerin ve uçakların radarla tespitleri, uyduların radarla tespitleri, uyduların hareketleri ve gözlem sonuçları vb. birçok ulaşım ve iletişim işlevi için kesin olarak trigonometriye ihtiyacımız var. Uzay araştırmalarında da vazgeçilmez olarak kullanılan trigonometrinin en büyük faydası ise küçük modelleri gerçek yaşam durumları ile karşılaştırarak araştırmacılara yaklaşık/kesin sonuçlar vermesi. Basit bir ifade ile, trigonometri bir dik üçgendeki açı özelliklerini kullanarak dik üçgen oluşturduğunuz herhangi bir yapı, üçgen ne kadar büyük ya da küçük olursa olsun, kenar uzunlukları ya da üçgeni oluşturan noktalar arası uzaklık ile ilgili bilgi elde edinebilmenizi sağlar. M.Ö 3.yy'da Eratosthenes'in efsanevi olarak nitelendirilen deneyi olan Dünya'nın çevresini %15'lik sapmayla ölçümü, aslında trigonometrik oranları kullanması için gerçekleşmiş. Bu deney için bir çubuk ve güneşin gölgesi yardımıyla dünyanın çevre uzunluğunu küçük bir modelden (gölge ile oluşan dik üçgen) büyük modele (dünyaya) uygulayarak başarmış. Tabi ki bu deneyi gerçekleştirirken, İskenderiye ve Syene arasındaki mesafeyi adımla ölçecek birini tutması da ayrı bir güzellik.





FOURIER DÖNÜŞÜMLERİ
Joseph Fourier, muhteşem bir fikirler, evrendeki tüm dalga formlarını farklı frekanslarda trigonometrik bir yapıya dönüştürmeyi başarmış. Basit olarak görünen bu dönüşüm ile telefon, internet, radyo, derin uzay iletişimi, Wi-Fi vb. her türlü dalga formunu matematiksel olarak sinüs eğrisi ile modelleyebiliyoruz. Ölçülen herhangi bir dalga sinyalinin bir sinüs eğrisine dönüşmesi, farklı formatlarda olan sinyallerı aynı platformda buluşturmuş, karşılaştırmış ve özelliklerini daha kolay incelememizi sağlar. Arabanızda giderken dinledğiniz radyo kanalının yayını tam olarak bir Fourier dönüşümüdür. Fourier dönüşümleri, özellikle iletişim alanı ile ilgilenenler olmak üzere, bir mühendisin vazgeçilmezleri arasında yer alır.

Normal Dağılım Eğrisi

Bilim tarihinin en önemli dehalarından biri kim diye sorsanız bir noktada aklınıza kesin onu adı gelir. Gauss, küçük yaşlardan itibaren inanılmaz hesap ve gözlem becerisine sahip, üstün zekalı, ve matematiğin prensi olarak bilinir. Sayılar kuramı, analiz, diferansiyel geometri, jeodezi, astronomi vb. geniş ilgi alanı ile matematik-fizikte birçok konuya katkı sağlamıştır. Matematik konusunda uzmanlaştığında ise, birçok gözlemin bir uyuma sahip olduğunu hatta bir dağılıma uyduğunu fark eder. Normal dağılım olarak adlandırılan bu dağılım, aslında hiç birimize uzak değil. Küçük yaşlardan itibaren girdiğiniz bütün sınavlarda, üniversite değerlendirmelerindeki notlarınızda, marketten alışveriş yaptığınızda reyonların düzenlenmesinde, kullandığınız ürünlerin üretiminde vb. yerlerde hep normal dağılım ile karşılaşırsınız. Gauss eğrisi, çan eğrisi, Gauss dağılımı ya da normal dağılım olarak bilinen bu eğri ile, günlük hayatta yer alan istatistiksel birçok problemi çözebilir, gelecekle ilgili doğruluğu yüksek kestirimlerde bulunabiliriz. İstatistiksel bir araştırma sonrası elde ettğimiz ortalama ve standart sapma, normal dağılımda çalışan en önemli parametreler olarak bilinir. Normal/Gauss Dağılım Eğrisi altındaki alanın değeri, her olasılık fonksiyonunda olduğu gibi 1'e eşittir. Bu dağılımda dikey eksen ve yatay eksenin kesişimi istatistiksel verilerin ortalamasını verir ve dağılım ortalamaya göre simetriktir. İstatistiğin en önemli dağılımlarından biri olan mormal dağılım ile günlük yaşamdan birçok örnek verilebilir. Örneğin, normal dağılıma uyan bir sınavda öğrencilerin notları 50 ortalamalı ve 10 standart sapmalı ise, sınıftaki öğrencilerin %68'nin 40 ile 60 arasında not aldığını söyleyebiliriz.

Normal dağılım kitlesel birçok kestirimde bize yardımcı olur. Örneğin, lise-üniversite sınavları gibi büyük katılımlı sınavlarda, iş dünyasında yer alan performans değerlendirmelerinde, fabrikaların üretimlerinin değerlendirilmesinde, zeka, yaratıcılık ve analitik düşünme gibi soyut kavramların ölçülmesinde, psikoloji ve psikiyatri alanlarında yer alan birçok ölçeğin geliştirilmesinde ve ölçeklerle elde edilen sonuçların yorumlanmasında yoğun olarak kullanılır.



Karmaşık Sayılar

Sayıların gelişimi her zaman ihtiyaca yönelik olmuştur. Modern matematik oluşurken, ne işe yarayacak diye düşündüğümüz bazı buluşlar, geleceğin bişim alanlarının ortaya çıkmasında çok önemli rol alır. Bunlardan biri karmaşık (kompleks) sayı kavramı. Asıl olarak bir sayının karesinin negatif olma durumu ile ortaya çıkmıştır. Bir an "Bir sayının kendisi ile çarpımının negatif olması" durumunu düşünürseniz, lise hayatınız boyunca reel sayılarla işlem yaptığınızdan, bu işlem size garip gelir çünkü reel sayılarda böyle bir özellik yoktur. Karmaşık sayılar bulunmadan önce "bir sayının karesi negatif olamaz" denilerek bulunan denklemlerin anlamsız olduğu kabul edilmiş. Size benzer geldi mi bilemem ama, durum tam olarak Pisagor'un 2'yi bir sayı olarak kabul etmemesi gibi bir şey aslında. Reel sayılar, sayı doğrusunu sıkı sıkıya doldurur. Başka bir deyişle bir sayı doğrusu çizdiğinizde, hiç boşluk kalmadan, her bir noktasına bir reel sayı karşılık gelir. Bu sayı doğrusunu düzlemde çizdiğimizi düşünürsek, bu sayı doğrusunun dışında düzlemde yer alan herhangi bir noktanın bir sayı olarak gösterilmesi mümkün müdür? Bu sorunun cevabı aslında tam olarak karmaşık sayılar olarak karşımıza çıkar. Örneğin okuduğunuz bu sayfanın her bir noktasına bir karmaşık sayı karşılık gelir. Karmaşık sayıların kolay gösterimi sayesinde elektromanyetik dalgalar, kuantum mekaniği gibi konular da kolaylıkla işlem yapılabilir hale gelmiştir. Kuantum teorisinin gelişmesinde çok önemli rol oynayan Schrödinger'in bulduğu ünlü denklem, bir dalga fonksiyonunun uzay ve zamana bağlı değişimini verir. Bu denklemlerde "i" olarak yer alan sayı, karmaşık (karmaşık birim) sayıdır. Karmaşık sayıları alternatif olarak matematikte düşünmeseydik, kuantum konusunda bu denli ilerleme sağlayamaz ve günümüzde kullanılmaya başlayan kuantum bilgisiyarlara asla ulaşamazdık.



Öklidyen Olmayan Geometri

Öklid Ö.Ö 3.yy'da yaptığı çalışmalar ile matematiğe en büyük katkıyı yapan kişilerden biri olarak tarihe geçmiştir. Sadece matematikte değil, aynı zamanda tüm bilimin gelişmesi için büyük bir başarı göstermiştir. Öklid'in yazmış olduğu Elementler kitabı, aksiyomlar ve teoremler üzerinde kurulu olup, günümüzde öğrencilerin okullarda öğrendiği geometri, tam olarak Öklid geometrisi olarak adlandırılmakta. Öklid geometrisinin, "Bir doğruya dışındaki bir noktadan bir tek paralel doğru çizilir." olarak bilinen 5. Aksiyomu en ünlü aksiyomu olarak bilinir. Bu aksiyom, uzun yıllar tartışma konusu olmuş, aksiyom olup olmadığı üzerinde uzun uzadıya çalışmalar gerçekleştirilmiş "ve sonuç olarak aksiyom" olarak kalmaya devam etmektedir. Öklid geometrisi, doğrular ve şekiller (dikdörtgen, üçgen, çember vb.) üzerine kuruludur. Lise son sınıfa kadar öğrendiğiniz geometri düzlem geometri olarak bilinir. Dahası doğrular ve arasındaki işlemlerle tanımlıdır ve bu geometride eğriler genelde yer almaz. Eğrilerin, "Öklid geometrisi yardımıyla" tanımlanması ise kalkülüs olarak bilinir ve Newton fiziğinin temellerini oluşturur. Bolyai, Gauss ve Gauss'un öğrencisi olan Riemann, Öklid'in 5. aksiyomu olarak bilinen paralel tanımını değiştirerek hiperbolik, eliptik vb. gibi yeni geometriler oluşturmuş ve bu geometriler de Öklid özelliklerini değiştirmişlerdir.

Örneğin iki paralel iki doğru arasındaki uzaklık düzlemde sabit iken, hiperbolik uzayda artar, eliptik uzayda ise paralel doğrular kesişebilmekte.. Başka bir örnek olarak çemberin çevresi hiperbolik geometride Öklid geometrisine göre daha kısa olarak hesaplanabilmektedir. Bu farklı yaklaşımlar ve Riemann'ın üst düzey çalışmaları, uzayda eğrilik kavramını ortaya çıkarmış ve bu durum fizikçilerin dikkatini çekmiş. Riemann, küresel geometrinin pozitif, hiperbolik geometrinin negatif, düzlem geometrinin ise sıfır eğriliğe sahip olduğunu belirttiği çalışması ile üst boyutlarda geometri yapılmasına yönelik çok önemli fikirlere imza atmıştır. Riemann'ın geliştirmiş olduğu geometrinin özellikleri, fiziğin ilerlemesinde köşe taşı olarak yerini almıştır. Einstein, genel görelilik yasasını Einstein Manifold'unu tanımlayarak ispatlamış ve bilimde çok önemli bir çığır açmıştır. Bu arada Einstein'ın matematik bilgisi ile ilgili dolaşan söylentiler oldukça komik, çünkü kendisinin deha düzeyinde matematik ve fizik bilgisine sahip olduğu erken yaşlarından itibaren biliniyor. Zaten bu seviyede fizik gerçekleştirebilmeniz için çok ciddi düzeyde matematik bilmeniz gerekli.


Bir dahaki konuda görüşmek üzere!

-
Bu linki/içeriği görüntüleyebilmek için Giriş yap veya üye ol.





















 

Çevrimiçi üyeler

Şu anda çevrimiçi üye yok.

Forum istatistikleri

Konular
225
Mesajlar
885
Kullanıcılar
7,883
Son üye
patakute
halkalı escort avrupa yakası escort şişli escort avcılar escort esenyurt escort beylikdüzü escort beylikdüzü escort şirinevler escort ataköy escort avcılar escort esenyurt escort
Üst Alt